Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．
（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入•的表达式中，求得•=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x2+=1
（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2=．
由解得即两圆相切于点（1，0）．
因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．
事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．
由即（k2+2）x2+k2x+k2-2=0．
记点A（x1，y1），B（x2，y2），则
又因为=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），•=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+k2（x1+）（x2+）
=（k2+1）x1x2+（k2-1）（x1+x2）+k2+1
=（k2+1）+（k2-1）++1=0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件