Question

设定义在R上的函数f（x）满足以下两个条件：（1）对∀x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立；（2）当x＜0时，（x²+2x）f'（x）≥0
则下列不等关系中正确的是（ ）
A．f（-1）≤f（0）
B．f（-2）≤f（-3）
C．f（2）≥f（0）
D．f（1）≥f（2）

Answer

利用奇函数的定义判断出f（x）是奇函数，通过解二次不等式判断出x2+2x的符号，从而得到导函数f′（x）的符号，判断出函数f（x）的单调性，利用f（x）的单调性判断出A，B错；利用f（x）的单调性与奇函数判断出C错D对．
【解析】
∵对∀x∈R，都有f（x）+f（-x）=0成立
∴f（x）为奇函数
∵当x＜-2时，x2+2x＞0；当-2＜x＜0时，x2+2x＞0
又∵当x＜0时，（x2+2x）f'（x）≥0
∴当x＜-2时，f'（x）≥0，函数f（x）递增或为常函数；当-2＜x＜0时，f'（x）≤0，函数f（x）递减或为常函数
∴f（-1）≥f（0），故A错
f（-2）≥f（-3），故B错
f（-2）≥f（0）即-f（2）≥f（0）即f（2）≤f（0），故C错
f（-1）≤f（-2）即-f（1）≤-f（2）即f（1）≥f（2）故D对
故选D．