Question

某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，则销售量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系Q=8300-170p-p²．问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润．

Answer

毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．
【解析】
由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即
L（p）=pQ-20Q=Q（p-20）=（8300-170p-p2）（p-20）
=-p3-150p2+11700p-16600，…（4分）
所以L′（p）=-3p2-300p+11700．…（6分）
令L′（p）=0，解得p=30或p--130（舍去）．…（9分）
此时，L（30）=23000．…（11分）
因为在p=30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．
所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，…（13分）
答：零售定为每件30元时，最大毛利润为23000元．…（14分）