Question

如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0）（a＞0）．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N．
（1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
（3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为？若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据△AOB为等腰直角三角形，A点坐标为（-2，0），可得圆心M的坐标为（-1，1）及圆M方程，利用⊙M与直线CD相切，圆心M到直线CD的距离等于半径，即可确定确定直线CD的方程；
（2）由已知得，直线AB的方程为x-y+2=0，圆心N的坐标为（，），求出圆心N到直线AB的距离，利用直线AB截⊙N所得的弦长为4，即可确定圆心坐标，从而确定⊙N的标准方程；
（3）存在．由（2）知，圆心N到直线AB的距离恒为，且AB⊥CD始终成立，当且仅当圆N的半径=2．
【解析】
（1）∵△AOB为等腰直角三角形，A点坐标为（-2，0），
∴圆心M的坐标为（-1，1）．
∴圆M方程为（x+1）2+（y-1）2=2，
又△COD为等腰直角三角形，C点坐标为（a，0），
∴直线CD的方程为x+y-a=0
∵⊙M与直线CD相切，∴圆心M到直线CD的距离d==，解得a=2或a=-2（舍）．（4分）
（2）由已知得，直线AB的方程为x-y+2=0，圆心N的坐标为（，）．
∴圆心N到直线AB的距离为=．
∵直线AB截⊙N所得的弦长为4，∴22+（）2=．
解得a=2或a=-2（舍），
∴⊙N的标准方程为（x-）2+（y-）2=6．（8分）
（3）存在．
由（2）知，圆心N到直线AB的距离恒为，且AB⊥CD始终成立，
∴当且仅当圆N的半径=2，即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为．
此时⊙N的标准方程为（x-2）2+（y-2）2=8．（12分）