Question

已知的定义域是[0，4]．
（1）若f（x）的极值点是x=3，求a的值；
（2）若f（x）是单峰函数，求a的取值范围．

Answer

（1）由，知f′（x）=x2-4ax+3a2，由f（x）的极值点是x=3，知f′（3）=9-12a+3a2=0，由此能求出a．
（2）f′（x）=x2-4ax+3a2=（x-a）（x-3a），结合f（x）是单峰函数，分类讨论，能够求出a的取值范围．
【解析】
（1）∵，
∴f′（x）=x2-4ax+3a2，
∵f（x）的极值点是x=3，
∴f′（3）=9-12a+3a2=0，
解得a=1或a=3．
（2）∵f′（x）=x2-4ax+3a2=（x-a）（x-3a），
①当a=0时，f′（x）=x2≥0在[0，4]内恒成立，
故f（x）不是单峰函数，
故a=0不成立；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得f（x）的增区间为（-∞，3a），（a，+∞），
由f′（x）＜0，得f（x）的减区间为（3a，a）
∵f（x）在[0，4]内是单峰函数，
∴，或，
无解．
③当a＞0时，由f′（x）＞0，得f（x）的增区间为（-∞，a），（3a，+∞），
由f′（x）＜0，得f（x）的减区间为（a，3a），
∵f（x）在[0，4]内是单峰函数，
∴或，
解得．
综上所述，a的取值范围是[）．