Question

已知定义在R上的二次函数R（x）=ax²+bx+c满足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值为0，函数h（x）=lnx，又函数f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤时，若x∈[1，3]，求f（x）的最小值；
（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x₁，y₁），当时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）

Answer

（I）由2R（-x）-2R（x）=0，知R（-x）=R（x），故R（x）=ax2+c．所以令f′（x）=0，得．由此能求出f（x）的单调区间．
（II）由当0＜a≤时，≥1，知x∈[1，3]时，f（x）的最小值为f（1）与f（3）中的较小者．由此能求出f（x）的最小值．
（III）若二次函数R（x）=ax2图象过（4，2）点，则，所以．由此能导出函数f（x）图象上存在点B（x2，y2）（x2＞2），使A、B连线平行于x轴．
【解析】
（I）∵定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx+c满足2R（-x）-2R（x）=0，
∴2R（-x）-2R（x）=0，
∴2R（-x）=2R（x），即R（-x）=R（x），
∵R（x）=ax2+bx+c，∴b=0，∴R（x）=ax2+c．
∵R（x）=ax2+c的最小值为0，∴a＞0，c=0，故R（x）=ax2，
∵R（x）=ax2，h（x）=lnx，f（x）=h（x）-R（x），
∴f（x）=lnx-ax2，，
令f′（x）=0，解得．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，） （，+∞）
f'（x） + -
f（x） ↑ 极大值 ↓

所以，f（x）的单调递增区间是（0，），
f（x）的单调递减区间是（，+∞）．
（II）∵当0＜a≤时，≥1，
∴x∈[1，3]时，f（x）的最小值为f（1）与f（3）中的较小者．
又f（1）=-a，f（3）=1n3-9a，
f（1）-f（3）=-a-（ln3-9a）=8a-1n3．
∴当0＜a≤时，f（1）≤f（3），f（x）的最小值-a；
当时，f（1）＞f（3），f（x）的最小值ln3-9a．
（III）证明：若二次函数R（x）=ax2图象过（4，2）点，则，
所以．
令．
由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，
故，即g（2）＞0．
取，则．
所以存在，使g（x2）=0，
故存在x2∈（2，+∞），使．
所以函数f（x）图象上存在点B（x2，y2）（x2＞2），使A、B连线平行于x轴．