已知椭圆E：的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB．（...

已知椭圆E：

的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB．
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为 manfen5.com 满分网

，求a的值；
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由．

（1）求出坐标原点到椭圆E的准线距离最短时c=1，利用a2=b2+c2，即可求得椭圆E的方程；（2）设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为，分别代入椭圆E的方程，求得A、B的坐标，从而可求直角三角形MAB的面积，利用最大值为，可求a的值；（3）由（2）知直线l的斜率，从而可求直线l的方程，由此可得直线l过定点．【解析】（1）坐标原点到椭圆E的准线距离为，当且仅当c=1时，坐标原点到椭圆E的准线距离最短 ∵c=1，b=1，∴a2=b2+c2，∴a2=2 ∴椭圆E的方程为（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得（1+a2k2）x2+2a2kx=0 解得x=0或，故点A的坐标为同理，点B的坐标为 ∴= =，解得a=3 （3）由（2）知直线l的斜率为= 直线l的方程为，即 ∴直线l过定点

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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