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已知函数,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有两个...

已知函数manfen5.com 满分网,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2
(1)先求导数fˊ(x)然后在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的区间为单调增区间,fˊ(x)<0的区间为单调减区间. (2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,函数至多只有一个零点,不合题意;则必有a>0,此时函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞),进一步得出x1∈(1,a)和x2∈(a,a2),从而得出答案. 【解析】 (1)由题意,函数的定义域为(0,+∞), 当a≤0时,,, 函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),…3分 当a>0时,,…5分 若x≥a,,此时函数f(x)单调递增, 若x<a,,此时函数f(x)单调递减, 综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞). …7分 (2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增, 此时函数至多只有一个零点,不合题意;                      …8分 则必有a>0,此时函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,+∞), 由题意,必须,解得a>1,…10分 由,f(a)<0, 得x1∈(1,a),…12分 而f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna), 下面证明:a>1时,a-1-lna>0 设g(x)=x-1-lnx,x>1 则, 所以g(x)在x>1时递增,则g(x)>g(1)=0, 所以f(a2)=a2-a-alna=a(a-1-lna)>0, 又f(a)<0, 所以x2∈(a,a2), 综上,1<x1<a<x2<a2.                     …16分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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