Question

已知函数f（x）=2^x-1，对于满足0＜x₁＜x₂的任意x₁，x₂，给出下列结论：
（1）（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0    （2）x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）
（3）f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁           （4）＞f（）
其中正确结论的序号是（ ）
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（3）（4）

Answer

本题要借助指数函数的图象与性质来研究，对四个命题的形式加以变化变成规范的形式，利用相关的性质判断即可．
对于选项（1）由于）（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＜0 等价于＜0故可借助函数的图象的单调性得出结论
对于选项（2）由于x2f（x1）＜x1f（x2）等价于，可借助函数图象上点的几何意义得出结论
对于选项（3）由于f（x2）-f（x1）＞x2-x1⇔，故可借助函数的图象上点的切线斜率变化规律得出结论
对于选项（4）＞f（）说明函数是一个凹函数，以此由函数图象即可得出结论．
解（1）∵f（x）=2x-1为R上的单调增函数，故满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，总有f（x1）＜f（x2），即f（x2）-f（x1）＞0，∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0，故（1）错误；
（2）设y===，其几何意义为f（x）图象上的点与原点连线斜率，由函数f（x）=2x-1在（0，+∞）上的图象可知y=为增函数，∵0＜x1＜x2，
∴＜，即x2f（x1）＜x1f（x2），（2）正确；
（3）∵函数f′（x）=2xln2，由x＞0，∴2xln2∈（ln2，+∞），即存在x，使f′（x）＜1，而f（x2）-f（x1）＞x2-x1⇔⇔函数f（x）在所给的区间上导数值恒大于1，∴（3）错误；
（4）＞f（）反映函数f（x）为凹函数，由f（x）=2x-1的图象可知此函数在（0，+∞）上确为凹函数，（4）正确
故正确结论的序号是：（2）、（4）
故选 C