Question

某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元．经预测知，当售出这种产品t百件时，若0＜t≤5，则销售所得的收入为5t-t²万元：若t＞5，则销售所得收入为+万元．
（1）若该公司的这种产品的年产量为x百件（x＞0），请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为当年生产量x的函数；
（2）当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？
（3）当年产量为多少时，当年公司不会亏本？（取为4.64）

Answer

（1）根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入-销售成本，建立函数关系即可；
（2）分别求出每一段函数的最值，然后比较求出最大值，从而求出所求；
（3）由题意知f（x）≥0，然后分别求出每一段满足的x的值即可．
（本题满分13分）
【解析】
（1）当0＜x≤5时，f（x）=5x-0.5x2-（0.5+0.25x）=-0.5x2+4.75x-0.5
当x＞5时，=-0.125x+11
∴f（x）=                        …（4分）
（2）当0＜x≤5时，f（x）=-0.5x2+4.75x-0.5=-0.5（x-4.75）2+10.78125
∴当x=4.75时，f（x）max=10.78125
当x＞5时，f（x）=-0.125x+11＜-0.125×5+11=10.375＜10.78125
∴当年产量为4.75（百件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元．…（9分）
（3）由题意知f（x）≥0
当0＜x≤5时，-0.5x2+4.75x-0.5≥0，
即
∴0.11≤x≤9.39，又0＜x≤5，
∴0.11≤x≤5
当x＞5时，-0.125x+11≥0，
∴5＜x≤88
综上可得，∴0.11≤x≤88
∴当年产量为11件～8800件之间时，公司不会亏本．…（13分）