Question

奇函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式（x-1）f（x+1）＞0的解集为（ ）
A．（-2，-1）∪（1，2）
B．（-3，1）∪（2，+∞）
C．（-3，-1）
D．（-2，0）∪（2，+∞）

Answer

由题意可得 f （2）=0，且在（0，+∞）上单调递减，故当x＜-2或0＜x＜2 时，f（x）＞0，当-2＜x＜0或x＞2时，f（x）＞0．由此易求得（x-1）•f（x+1）＞0的解集．
【解析】
∵函数f（x）是奇函数，在区间（-∞，0）上单调递减，且f （2）=0，
∴f （-2）=-f（2）=0，且在（0，+∞）上单调递减
故当x＜-2或0＜x＜2 时，f（x）＞0，当-2＜x＜0或x＞2时，f（x）＞0．
由不等式（x-1）•f（x+1）＞0可得x-1与f（x+1）同号．
∴或
∴或
解不等式可得，-3＜x＜-1
∴不等式的解集为 （-3，-1）
故选C