Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心，若存在，试确定点G的位置；若不存在，说明理由．

Answer

先以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，
（1）写出直线EF的方向向量和CD的方向向量，求两个向量的数量积，由数量积为0，即可证明两直线垂直；
（2）先求平面DEF的法向量，再求斜线DB的方向向量，最后求这两个向量的夹角的余弦值，此值的绝对值即为所求线面角的正弦值；
（3）先证明点F即为△PCB的外心，从而将问题转化为在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB，设G（m，0，n），利用线面垂直的定义，列方程即可解得m、n的值，从而判断G的位置
【解析】
以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设PD=DC=1
则D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、、、P（0，0，1）．
（1）∵，
∴
∴EF⊥CD
（2）设平面DEF的法向量为．
由得即
令x=1，则y=-2，z=1．
∴，又=（1，1，0）
设DB与平面DEF所成角为θ，
则sinθ=|cos＜，＞|=
（3）∵△PCB为直角三角形，C=90°，∴G在平面PCB上的射影为△PCB的外心即为PB中点F，
G在平面PCB上的射影为△PCB的外心即GF⊥平面PCB
设G（m，0，n），则G∈平面PAD．
∴．又=（1，0，0），=（0，-1，1）
由，得．由，得n=0．
∴G点坐标为，
即G为AD中点时，GF⊥平面PCB
∴存在一点G为AD中点时，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心