Question

已知函数f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）数列a_n满足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n），求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）已知数列b_n满足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N*），求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）设的前n项和为S_n，若不等式λ＜S_n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出导函数，代入得到an+1=2an+2，两边加2化简得an+2为首项为a1+2，公比为2的等比数列，写出通项，求出an即可；
（Ⅱ）将bn代入到f（bn）中化简bn+1=f（bn）得到bn+1+1=（bn+1）2，两边取对数得到lg（bn+1）的公比为2的等比数列得到bn的通项；
（Ⅲ）由ck+1=bk2+2bk，和得到ck的通项公式，求出前n项的和Sn且在n∈[1，+∞）上是增函数，求出Sn的最小值为S1，令λ＜S1求出λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=2x+2，
∴an+1=2an+2∴an+1+2=2（an+2），因为an+2为等比数列，∴an+2=（a1+2）2n-1∴an=3•2n-1-2
（Ⅱ）由已知得bn＞0，bn+1+1=（bn+1）2，
∴lg（bn+1+1）=2lg（bn+1），
∴又lg（b1+1）=lg（t+1）≠0，所以lg（bn+1）的公比为2的等比数列，
∴bn=（t+1）2n-1-1
（Ⅲ）∵bk+1=bk2+2bk，∴，，k=1，2，n∴=，
∵t＞0，∴t+1＞1，∴Sn在n∈[1，+∞）上是增函数
∴Sn≥S1==，又不等式λ＜Sn对所有的正整数n恒成立，
∴，故λ的取值范围是（-∞，