Question

已知函数f（x）对任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer

（1）先任取x1＜x2，x2-x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2-x1）＞1，再对f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1变形得到结论．（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再将f（3m2-m-2）＜3转化为f（3m2-m-2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．
【解析】
（1）证明：任取x1＜x2，
∴x2-x1＞0．
∴f（x2-x1）＞1．
∴f（x2）=f[x1+（x2-x1）]
=f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m2-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m2-m-2＜2，
3m2-m-4＜0，
∴-1＜m＜．