Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（I）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（II）求证数列为等差数列
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（I）由a1=1，及Sn+1=4an+2，可得b1=a2-2a1=3，又当n≥2时，有Sn=4an-1+2，与条件相减，即可证得{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列；
（II）由（I）可得，所以，即可证明数列是首项为，公差为的等差数列；
（Ⅲ）由（II） ，即可求得数列{an}的通项公式．
（I）证明：由a1=1，及Sn+1=4an+2，
得 a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2-2a1=3．
由 Sn+1=4an+2，①
则当n≥2时，有Sn=4an-1+2，②
②-①得an+1=4an-4an-1，所以an+1-2an=2（an-2an-1），
又bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1，所以{bn}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．        …（6分）
（II）证明：由（I）可得，所以．
所以 数列是首项为，公差为的等差数列．…（10分）
（Ⅲ）【解析】
由（II） ，即（n∈N*）．…（14分）