已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y...

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时m的值．

（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，解方程组，可得直线l恒过定点；（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求m的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．（1）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0 令，解得 ∴直线l恒过定点A（3，1）（2）【解析】直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l ∵圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，圆心（1，2），半径为5 ∴CA的斜率为=-， ∴l的斜率为2 ∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率为 ∴ ∴ ∵|CA|== ∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2=．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等