已知双曲线C的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点．（1）求双曲线C的方程；（2...

已知双曲线C的一条渐近线为 manfen5.com 满分网

，且与椭圆

有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线 manfen5.com 满分网

与双曲线C相交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否过原点，并说明理由．

（1）确定椭圆的焦点坐标，设双曲线的方程为：（a＞0，b＞0），利用双曲线C的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线的方程；（2）直线与双曲线C联立，消元，可证明：xAxB+yAyB=0，即可证得以AB为直径的圆过原点．【解析】（1）椭圆的焦点坐标为（0，±）设双曲线的方程为：（a＞0，b＞0），则，∴a=1，b=2 ∴双曲线；（2）直线与双曲线C联立，消元可得 ∴yAyB=-4， ∴xAxB=2yAyB+（yA+yB）+4=4 ∴xAxB+yAyB=0 ∴OA⊥OB ∴以AB为直径的圆过原点．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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