Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAD=90°，
∠BAA₁=∠DAA₁=60°．
（1）求AC₁的长；
（2）设直线AC₁与平面A₁DB交于点G，求证：．

Answer

（1）由，知==85，由此能求出AC1的长．
（2）由A，G，C1三点共线知，存在λ∈R，使得．由B，D，A1，G四点共面知，存在x，y，z∈R，使得，且x+y+z=1，由此能够证明．
（1）【解析】
∵
∴==85，
∴
（2）证明：由A，G，C1三点共线知，存在λ∈R，
使得
由B，D，A1，G四点共面知，存在x，y，z∈R，
使得，且x+y+z=1
由空间向量基本定理，得x=y=z=λ，
∴，
∴．