Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）-f（x2）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；
（3）由题意，若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解．
【解析】
（1）f'（x）=3ax2+2bx-3．（2分）
根据题意，得即解得
所以f（x）=x3-3x．
（2）令f'（x）=0，即3x2-3=0．得x=±1．
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减
因为f（-1）=2，f（1）=-2，
所以当x∈[-2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=-2．
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值为4．
（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x，y）．
则y=x3-3x．
因为f'（x）=3x2-3，所以切线的斜率为3x2-3．
则3x2-3=，
即2x3-6x2+6+m=0．
因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程2x3-6x2+6+m=0有三个不同的实数解．
所以函数g（x）=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点．
则g'（x）=6x2-12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2．
当x∈（-∞，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）在此区间单调递减；
所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：
，即，解得-6＜m＜2．