Question

已知复数z=x+yi（x，y∈R）且|z-3-4i|=2，则的取值范围为    ．

Answer

由z=x+yi（x，y∈R），知z-3-4i=（x-3）+（y-4）i，由|z-3-4i|=2，知==2，故x2+y2-6x-8y+21=0，所以|z-3-4i|=2是以（3，4）为圆心，2为半径的圆，是圆上的点与原点的连线的斜率，由此能够求出的取值范围．
【解析】
∵z=x+yi（x，y∈R），
∴z-3-4i=x+yi-3-4i
=（x-3）+（y-4）i，
∵|z-3-4i|=2，
∴==2，
∴x2+y2-6x-8y+21=0，
∵圆心P（3，4），半径r==2，
|z-3-4i|=2是以（3，4）为圆心，2为半径的圆，
∴是圆上的点与原点的连线的斜率，
∵|OP|=，|PB|=|PA|=2，
∴，
设直线OA的倾斜角为α，直线OP的倾斜角为β，

∴tan∠AOP=tan，tan（α+∠AOP）=tanβ=，
∴==，
解得．
∵tan（β+∠BOP）=
=
=．
∴的取值范围为[]．
故答案为：[]．