Question

已知矩阵A=，向量．
（1）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；
（2）计算A⁵β的值．

Answer

（1）先根据特征值的定义列出特征多项式f（λ）=，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量β，后将求A5β的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．
【解析】
（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，得α1=，当λ2=3时，得α2=．（7分）
（2）由=mα1+nα2得，得m=3，n=1．
∴A5β=A5（3α1+α2）=3（A5α1）+A5α2=3（25+35）=（15分）