Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：函f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 代入即证；
（2）设x2＞x1则x1-x2＜0，由已知当x＜0时，f（x）＞0可得f（x1-x2）＞0，则f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）+f（x2）＞f（x2）可证；
（3）移项，利用奇偶性进行化简，然后利用单调性建立不等式，注意定义域，从而可求出m的取值范围．
（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
∴函数f（x）是奇函数；…（5分）
（2）证明：设x2＞x1则x1-x2＜0
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x1-x2）＞0
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）+f（x2）＞f（x2）
∴函数f（x）是R上的减函数
（3）【解析】
∵f（-m）+f（1-m）＜0，∴f（-m）＜f（m-1），
且f（-m）+f（1-m）=f（1-2m）
∴，解得：-＜m＜．…（16分）