Question

已知椭圆的离心率为．
（1）若圆（x-2）²+（y-1）²=与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆的方程；
（2）设L为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M、N两点，且L的倾斜角为60°．求的值．
（3）在（1）的条件下，椭圆W的左右焦点分别为F₁、F₂，点R在直线l：x-y+8=0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求的值．

Answer

（1）设出AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB恰为圆的直径，可求椭圆的方程；
（2）设|MF|=m，|NF|=n，则由第二定义知，由此可求的值；
（3）当∠F1RF2取最大值时，过R、F1、F2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切，利用△F1SR∽△RSF2，即可求的值．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k①
∵离心率e=，∴椭圆方程可化为②
将①代入②得（1+2k2）x2+4（1-2k）•kx+2（1-2k）2-2b2=0
∵x1+x2=，∴k=-1
∴x1x2=
又，∴
即，∴b2=8
∴椭圆方程为
（2）设|MF|=m，|NF|=n，则由第二定义知
即或
∴或．
（3）当∠F1RF2取最大值时，过R、F1、F2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切．
直线l与x轴于S（-8，0），
∵△F1SR∽△RSF2，
∴．