Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在R上是增函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据奇函数的定义，取x=1，得f（1）+f（-1）=0，解之得a=2，再经过检验可得当a=2时，f（x）+f（-x）=0对x∈R恒成立，所以f（x）是奇函数；
（2）令t=2x，得，再用单调性的定义，证出当x1∈R，x2∈R且x1＜x2时，y1-y2=，讨论可得y1＜y2，所以f（x）在R上是增函数；
（3）因为f（x）是奇函数，并且在R上是增函数，所以原不等式对任意的t∈R恒成立，即mt2+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立，化简整理得关于t的一元二次不等式，最后经过分类讨论，可得实数m的取值范围为0≤m＜8．
【解析】
（1）∵函数是奇函数，
∴f（1）+f（-1）=0，可得，解之得a=2-----------（3分）
检验：a=2时，，
∴
∴f（x）+f（-x）=0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．-----------（5分）
（2）证明：令t=2x，则
设x1∈R，x2∈R且x1＜x2
∵t=2x在R上是增函数，∴0＜t1＜t2
当0＜t1＜t2时，==
∵0＜t1＜t2
∴t1-t2＜0，t1+1＞0，t2+1＞0
∴y1＜y2，可得f（x）在R上是增函数---------------（10分）
（3）∵f（x）是奇函数
∴不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0等价于f（mt2+1）＞f（mt-1）
∵f（x）在R上是增函数
∴对任意的t∈R，不原不等式恒成立，即mt2+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立，
化简整理得：mt2-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立
1°m=0时，不等式即为2＞0恒成立，符合题意；
2°m≠0时，有即0＜m＜8
综上所述，可得实数m的取值范围为0≤m＜8-------------（16分）