Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=，求证数列{c_n}的前n和R_n＜4；
（III）设c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n，求数列{c_n}的前2n和R_2n．

Answer

（I）由数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，知a1=S1=2+2=4，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n）-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，由此能求出an．由数列{bn}的前n项和Tn=2-bn，知当n=1时，T1=b1=2-b1，解得b1=1．当n＞1时，Tn=2-bn，Tn-1=2-bn-1，故Tn-Tn-1=bn=bn-1-bn，2bn=bn-1，由此能求出bn．
（II）由=n，知数列{cn}的前n和：Rn=c1+c2+c3+…+cn=1•（）+2×（）1+3×（）2+…+（n-1）•（）n-2+n•（）n-1，由错位相减法能够证明；
（ III）由cn=an+（-1）nlog2bn=4n+=4n+（-1）n（1-n），能求出数列{cn}的前2n和．
【解析】
（I）∵数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，
∴a1=S1=2+2=4，
an=Sn-Sn-1=（2n2+2n）-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，
当n=1时，4n=4=a1，
∴an=4n．
∵数列{bn}的前n项和Tn=2-bn，
∴当n=1时，T1=b1=2-b1，解得b1=1．
当n＞1时，Tn=2-bn，Tn-1=2-bn-1，
∴Tn-Tn-1=bn=bn-1-bn，∴2bn=bn-1，
∴=，
∴数列{bn}是以首项为1，公比为的等比数列，
∴，n∈N*．
（II）∵=n，
∴数列{cn}的前n和：
Rn=c1+c2+c3+…+cn
=1•（）+2×（）1+3×（）2+…+（n-1）•（）n-2+n•（）n-1，①
∴=1•（）1+2×（）2+3×（）3+…+（n-1）•（）n-1+n•（）n，②
①-②，得=1++（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n
=-n•（）n
=2--n•（）n，
∴；
（ III）∵cn=an+（-1）nlog2bn
=4n+
=4n+（-1）n（1-n），
∴数列{cn}的前2n和
R2n=[4×1+（-1）1（1-1）]+[4×2+（-1）2（1-2）]+[4×3+（-1）3（1-3）]+…+[4×2n+（-1）2n（1-2n）]
=4（1+2+3+…+2n）+[0-1+2-3+…+（2n-2）-（2n-1）]
=4×-n
=8n2+3n．
∴R2n=8n2+3n．