Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer

（1）由ABCD为矩形，，∠PBC=90°可证DA⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面PAD⊥平面PAB；
（2）由VD-PAC=VP-DAC=VP-ABC=VC-PAB=S△PAB•BC即可求得答案．
（1）证明：∵ABCD为矩形
∴AD⊥AB且AD∥BC…（1分）
∵BC⊥PB，
∴DA⊥PB且AB∩PB=B …（3分）
∴DA⊥平面PAB，
又∵DA⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB…（6分）
（2）∵VD-PAC=VP-DAC=VP-ABC=VC-PAB…（8分）
由（1）知DA⊥平面PAB，且AD∥BC∴BC⊥平面PAB…（10分）
∴VC-PAB=S△PAB•BC=×PA×ABsin∠PAB•BC=×1×2××1=…（12分）