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某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单...

某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(Ⅰ)求出f(5);
(Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.

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(I)先分别观察给出正方体的个数为:1,1+4,1+4+8,…从而得出f(5); (II)将(I)总结一般性的规律:f(n+1)与f(n)的关系式,再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得. 【解析】 (Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4 ∴f(5)=25+4×4=41.…(4分) (Ⅱ)由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.…(8分) ∴f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, … f(n-1)-f(n-2)=4•(n-2), f(n)-f(n-1)=4•(n-1)…(10分) ∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)•n, ∴f(n)=2n2-2n+1.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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