Question

设f（x）=px--2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

Answer

（I）由 f（x）=px--2lnx，得=．由px2-2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，能求出P的范围．
（II）法1：g（x）=在[1，e]上是减函数，所以g（x）∈[2，2e]．原命题等价于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范围．
法2：原命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=px--2lnx-，由
=，知F（x）是增函数，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范围．
【解析】
（I）由 f（x）=px--2lnx，
得=．…（3分）
要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调增函数，只需f′（x）≥0，
即px2-2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，…（5分）
从而P≥1．…（7分）
（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是减函数，
所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．
当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，得x-，
故，不合题意．…（10分）
当P≥1时，由（I）知f（x）在[1，e]连续递增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
∴原命题等价于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，…（12分）
由，解得p＞，
综上，p的取值范围是（，+∞）．…（15分）
解法2：原命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=px--2lnx-，
∵
=，
∴F（x）是增函数，…（10分）
∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，
∴p的取值范围是（，+∞）．…（15分）