Question

设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．已知下列函数：①；②f（x）=2^x；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是     （写出所有满足要求的函数的序号）．

Answer

根据集合M的定义，可根据函数的解析式，f（x+1）=f（x）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符号集合M的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
【解析】
①中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则
即x2+x+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，故方程无解．即∉M
②中，存在x=1，使f（x+1）=2x+1=f（x）+f（1）=2x+2成立，即f（x）=2x∈M；
③中，若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3
即2x2-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x2+2）∉M
④存在x=，使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
故答案为：②④