Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；
（3）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

Answer

（1）当x2-4x-5＞0时，f（x）=x2-4x-5；当x2-4x-5＜0时，f（x）=x2-4x-5，进而画出图象．
（2）先求出f（x）≥5的解集，再判断集合A和B的关系．
（3）设函数g（x）=kx+3k-f（x），只要证明g（x）＞0恒成立即可．
【解析】
（1）设-2≤x≤6，当x2-4x-5≥0时，
即6≥x≥5或-1≥x≥-2时，f（x）=x2-4x-5=（x-2）2-9
当x2-4x-5＜0时，即-1＜x＜5时，f（x）=-（x2-4x-5）=-（x-2）2+9
故作图如下．

（2）方程f（x）=5的解分别是
和，由于f（x）在（-∞，-1]和[2，5]上单调递减，
在[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，
∴．
由于2+＜6，2-＞-2
∴B⊂A．

（3）当x∈[-1，5]时，f（x）=-x2+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x2+4x+5）=x2+（k-4）x+（3k-5）=，
∵k＞2，∴．又-1≤x≤5，
①当，即2＜k≤6时，
取，g（x）min=．
∵16≤（k-10）2＜64，
∴（k-10）2-64＜0，则g（x）min＞0．
②当，即k＞6时，取x=-1，g（x）min=2k＞0．
由①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．