Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由．

Answer

（1）确定数列{bn}的通项，利用再写一式，两式相减的方法，可求数列{an}的通项公式；
（2）确定bn的表达式，利用要使是一个与n无关的常数，当且仅当a1=d≠0，即可得到结论．
【解析】
（1）依题意，数列{bn}的通项公式为，…（2分）
由，
可得（n≥2），
两式相减可得，即an=n．…（5分）
当n=1时，a1=1，从而对一切n∈N*，都有an=n．…（6分）
所以数列{an}的通项公式是an=n．…（7分）
（2）法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an=a1+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，，∴（n≥2）
∴…（11分）                                             
要使是一个与n无关的常数，当且仅当a1=d≠0…（12分）
即：当等差数列{an}的满足a1=d≠0时，数列{bn}是等比数列，其通项公式是；…（13分）
当等差数列{an}的满足a1≠d时，数列{bn}不是等比数列．            …（14分）
法2：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an=a1+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，，即（n≥2），若数列{bn}是等比数列，
则…（11分）
要使上述比值是一个与n无关的常数，须且只需a1=d≠0．…（12分）
即：当等差数列{an}的满足a1=d≠0时，数列{bn}是等比数列，其通项公式是，…（13分）
当等差数列{an}的满足a1≠d时，数列{bn}不是等比数列．          …（14分）