已知函数是奇函数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用定义证明函数f（...

已知函数

是奇函数，且

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式可根据函数是奇函数得出等式f（-x）=-f（x），及建立方程，两者联立可求出函数的解析式．（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，要设0＜x1＜x2＜1，再f（x1）-f（x2）的符号，依据定义判断出结论即可．【解析】（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），即（2分）整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为，所以，解得p=2．故所求解析式为．（6分）（Ⅱ）由（1）得．设0＜x1＜x2＜1，则．（10分）因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1-x2＜0，1-x1x2＞0，从而得到f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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