Question

设f（x）=ax³-3ax²+b在区间[-1，2]上的最大值为3，最小值为-21，且a＞0，则（ ）
A．a=6，b=3
B．a=3，b=6
C．a=3，b=3
D．a=2，b=-3

Answer

对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的最值问题，同时要验证端点问题，解出a，b；
【解析】
∵f（x）=ax3-3ax2+b，x∈[-1，2]，
∴f′（x）=3ax2-6ax=3ax（x-2），a＞0，
令f′（x）=0，得x=2或0
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当-1＜x＜0或x＞2，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
f（x）在x=0处取极大值，也是在x∈[-1，2]上的最大值，f（x）max=f（0）=3，可得b=3；
f（x）在x=2处取极小值，最小值可能等于f（2）或者f（-1）；
若f（x）min═f（2）=8a-12a+3=-21，解得a=6；
若f（x）min═f（-1）=-a-3a+3=-21，解得a=6；
∴a=6，b=3，
故选A；