Question

已知函数h（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[1，2]上有最大值2和最小值0．设．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=t-2在有实根，求实数t的取值范围；
（III）若不等式f（2^x）-t•2^x≤0在x∈[-1，2]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）确定函数h（x）在[1，2]上单调递增，利用函数h（x）在区间[1，2]上有最大值2和最小值0，建立方程，即可求得a、b的值；
（Ⅱ）方程f（x）=t-2在有实根，等价于在有实根，确定函数的单调性，即可求实数t的取值范围；
（III）不等式f（2x）-t•2x≤0在x∈[-1，2]恒成立，等价于t≥（）2-+1在x∈[-1，2]恒成立，求出右边对应的最大值，即可确定实数t的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵函数h（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0）的对称轴为x=1且图象开口向上
∴函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∵函数h（x）在区间[1，2]上有最大值2和最小值0，
∴，∴
∴a=2，b=1；
（Ⅱ）方程f（x）=t-2在有实根，等价于在有实根，
∵在上单调递减，在[1，3]上单调递增
∴∈[2，]；
（III）不等式f（2x）-t•2x≤0在x∈[-1，2]恒成立，等价于t≥（）2-+1在x∈[-1，2]恒成立，
令m=，则，t≥m2-2m+1在恒成立
令g（m）=m2-2m+1=（m-1）2，函数的对称轴为m=1，∴g（m）在上的最大值为1
所以实数t的取值范围为t≥1