Question

一束光线通过点射到x轴上，再反射到圆C：（x-1）²+（y+4）²=8上，求反射点在x轴上的横坐标的活动范围（ ）
A．（0，1 ）
B．（1-2，0）
C．[1-2，1]
D．（1，2-1）

Answer

当反射光线的斜率存在时，设其方程为：kx-y-k+2k+2=0，当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围，由点到直线的距离公式可得k的值，再检验斜率不存在时直线也与圆相切，进而得到答案．
【解析】
由题意可得：M点关于x轴的对称点为M′（1-2，2），因为反射光线的反向延长线经过M′（1-2，2），
当反射光线的斜率存在时，设其方程为：y-2=k（x-1+2 ），
整理可得 kx-y-k+2k+2=0，
当反射光线与圆相切时，圆心（1，-4）到反射光线的距离等于半径，即d=2=，解得 k=-1．
此时反射光线的方程为x+y-1=0，所以反射点为（1，0）．
当斜率不存在时，反射光线所在的直线的方程为 x=1-2，经检验也与圆相切，此时，反射点的坐标为（1-2，0）．
综上可得，反射点的横坐标的取值范围是[1-2，1]，
故选C．