Question

若函数f（x）=在其定义域R上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是    ．

Answer

根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．
【解析】
①当x≤0时，f（x）=x+3x．
∵函数y=x与y=3x在x≤0时都单调递增，
∴函数f（x）=x+3x在区间（-∞，0]上也单调递增．
又f（-1）=，f（0）=1＞0，所以函数f（x）在（-1，0）内有一个零点，如图所示．
②当x＞0时，．
∴f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，且x＞0，解得x=2．
当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减；在区间（2，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=2时求得极小值，也即在x＞0时的最小值．
∵函数f（x）在其定义域R上有且只有一个零点，且由（1）可知在区间（-1，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+∞）上没有零点，
∴必须满足f（2）＞0，即，解得．
故a的取值范围是．
故答案为．