Question

已知函数y=f（x）（x∈R且x≠2n，n∈Z）是周期为4的函数，其部分图象如图，给出下列命题：
①是奇函数；
②|f（x）|的值域是[1，2）；
③关于x的方程f²（x）-（a+2）f（x）+2a=0（a∈R）必有实根；
④关于x的不等式f（x）+kx+b≥0（k、b∈R且k≠0）的解集非空．
其中正确命题的个数为（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

由函数y=f（x）（x∈R且x≠2n，n∈Z）是周期为4的函数，其部分图象如图，知函数y=f（x）是奇函数，|f（x）|的值域是[1，2）；关于x的方程f2（x）-（a+2）f（x）+2a=0（a∈R）等价于：[f（x）-2][f（x）-a]=0，当|a|≥2时，无解；关于x的不等式f（x）+kx+b≥0（k、b∈R且k≠0）的解集非空．
【解析】
∵函数y=f（x）（x∈R且x≠2n，n∈Z）是周期为4的函数，其部分图象如图，
∴函数y=f（x）是奇函数，|f（x）|的值域是[1，2），
故①和②都正确；
③关于x的方程f2（x）-（a+2）f（x）+2a=0（a∈R）等价于：
[f（x）-2][f（x）-a]=0，即f（x）=2，或f（x）=a，
∴当|a|≥2时，无解，故③不正确；
④关于x的不等式f（x）+kx+b≥0（k、b∈R且k≠0）的解集非空，正确．
故选B．