Question

已知函数y=f（x），x∈R满足f（x）=af（x-1），a是不为0的实常数．
（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）若当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3^x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）、配成完全平方利用配方法求值域；
（2）、根据f（x）=af（x-1）逐步利用当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），
表示出1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，，…n≤x＜n+1上的解析式；
（3）、由第二问得到fn（x）=an•3x-n，根据a的正负分类分别研究单调性，我们知道每一段上为单调函数，
但整个定义域上不一定单调，若单调增（减），只需每一段的最大（小）值小（大）于等于下一段的最小（大）值即可．
【解析】
（1）∵，∴．
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时．，fn（x）=afn-1（x-1）=a2fn-1（x-2）=…=anf1（x-n），
∴fn（x）=an（x-n）（n+1-x）．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，fn（x）=afn-1（x-1）=a2fn-1（x-2）=…=anf1（x-n）
∴fn（x）=an•3x-n
显然fn（x）=an•3x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z，
当a＞0 时是增函数，此时∴fn（x）∈[an，3an]
若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有an+1≥3an，解得a≥3；
当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，∞）上不是单调函数；
所以a≥3．