Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．

Answer

（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ 的值，可得sin∠POQ，求出P的坐标可得A的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y=f（x） 的解析式．
（Ⅱ）求出g（x） 的解析式，化简h（x）=f（x）g（x） 的解析式为 sin（-）+，再根据x的范围求出h（x） 的值域，从而求得h（x） 的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…（2分）
∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2-），∴ω=． …（5分）
由f（）=sin（+φ）=1 可得 φ=，∴y=f（x） 的解析式为 f（x）=sin（x+）．…（6分）
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得 g（x）=sinx，…（7分）
h（x）=f（x）g（x）=sin（x+） sinx=+sinxcosx
=+sin=sin（-）+．…（10分）
当x∈[0，2]时，∈[-，]，
∴当 ，
即 x=1时，hmax（x）=．…（12分）