已知函数f（x）=2x+k•2-x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实...

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

（1）利用函数f（x）=2x+k•2-x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2-x成立，即2x+k•2-x＞2-x成立，即1-k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．【解析】（1）∵函数f（x）=2x+k•2-x为奇函数，∴f（-x）=-f（x） ∴2-x+k•2x=-（2x+k•2-x） ∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立 ∴k=-1 （2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2-x成立， ∴2x+k•2-x＞2-x成立 ∴1-k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立 ∵y=22x在[0，+∞）上单调递增 ∴函数的最小值为1 ∴1-k＜1 ∴k＞0

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考点分析：

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定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），则当 manfen5.com 满分网