Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，满足  f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，令的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

对抽象函数赋值，令a=2，b=2n-1，可得数列{an}为等差数列，进而可得a1，可得通项公式．
【解析】
令a=2，b=2n-1，代入原式可得：
f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2），而f（2）=2
故上式可化为f（2n）=2f（2n-1）+2n，
∴==，
即an=an-1+1，而，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）×1=n
故选D