Question

已知函数
（1）若上的最大值；
（2）若对任意x∈（0，a）时，恒有ma-f（x）＞1成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）=，令f′（x）=0，得，x2=a．由此进行分类讨论，能求出函数f（x）的最大值．
（2）由（1）知：当a=时，函数f（x）在（0，a），即（0，）上单调递增；a时，函数f（x）在（0，a）上的最大值为f（）．故“恒有ma-f（x）＞1成立”等价于“ma-1＞f（）恒成立”，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）=，
令f′（x）=0，得，x2=a．
∵a，∴由f′（x）＞0，得函数f（x）在（0，）上单调递增，
由f′（x）＜0得函数f（x）在（）上单调递减．
∴函数f（x）的最大值为f（）==aln-a-．
（2）由（1）知：
当①a=时，函数f（x）在（0，a），即（0，）上单调递增；
②a时，函数f（x）在（0，a）上的最大值为f（）．
∴“恒有ma-f（x）＞1成立”等价于“ma-1＞f（）恒成立”，
即ma-1＞f（）=aln-a-，
∴m＞ln-1+．
∵a，∴ln的最大值为，
∴实数m的取值范围为{m|m＞}．