Question

已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列的前n项和为S_n，则S₂₀₁₃的值为    ．

Answer

对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．
【解析】
由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，
∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x
所以f（n）=n（n+1），
∴=
∴S2013的值为1-+-+…+-=1-=
故答案为：