Question

如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer

（I）由，得x2-4x-4b=0，由直线l与抛物线C相切，能求出b．
（II）由b=-1，得x2-4x+4=0，解得x=2，将其代入x2=4y，得y=1，故点A（2，1）．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r，由此能求出圆A的方程．
【解析】
（I）由，得x2-4x-4b=0，（*）
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=（-4）2-4×（-4b）=0，
解得b=-1．…（4分）
（II）由（I）知b=-1，
故方程（*）即为x2-4x+4=0，
解得x=2，将其代入x2=4y，
得y=1，故点A（2，1）．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圆A的方程为（x-2）2+（y-1）2=4．…..（12分）