Question

在数列{a_n} 中，已知a₁=，，b_n+2=3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n} 是等差数列；
（Ⅲ）设数列{c_n} 满足c_n=a_n•b_n，求{c_n} 的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由a1=，，能求出数列{an} 的通项公式．
（Ⅱ）由bn+2=3（n∈N*），，知=3n-2，由此能证明数列{bn}是等差数列．
（Ⅲ）由，bn=3n-2，n∈N*，cn=an•bn，，由此利用错位相减法能求出{cn} 的前n项和Sn．
（Ⅰ）【解析】
∵a1=，，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
∴，n∈N*．
（Ⅱ）证明：∵bn+2=3（n∈N*），，
∴=3n-2，
∴b1=1，公差d=3，
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．
（Ⅲ）【解析】
∵，bn=3n-2，n∈N*，cn=an•bn，
∴，
∴，①
=1×+4×（）3+7×（）4+…+（3n-5）×（）n+（3n-2）×（）n+1，②
①-②，得-（3n-2）×（）n+1
=-（3n-2）×（）n+1-（）n+1，
∴，n∈N*．