Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，试求a的取值或取值范围；
（3）设函数，x∈（-1，b]，（b＞-1），如果存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]都有h（x）≥0成立，试求b的最大值．

Answer

（1）求导数，确定函数的单调性，可得函数的极值；
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，由此可求a的取值；
（3）存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等价于h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，进而分类讨论，即可求得结论．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x3+x2-x，∴f′（x）=3x2+2x-1，
令f′（x）=0，则，x2=-1，…（2分）
x、f′（x）和f（x）的变化情况如下表

x （-∞，-1） -1
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值f（-1）=1 ↘ 极小值 ↗

即函数的极大值为1，极小值为；                       …（5分）
（2）f'（x）=3ax2+2x-a，
若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，
若a＜0，二次函数图象开口向下，不可能在[0，+∞）上单调递增；
若a=0，则f（x）=x2符合条件；
若a＞0，则由二次函数f'（x）=3ax2+2x-a的性质知，即，这也不可能，
综上可知，当且仅当a=0时，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；     …（10分）
（3）由f'（x）=3ax2+2x-a，，
∴h（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），x∈（-1，b]，（b＞-1），
当-1＜x≤b时，令ax2+（2a+1）x+（1-3a）≥0，…①，
由a∈（-∞，-1]，∴h（x）的图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，…（11分）
又h（-1）=-4a＞0，
∴不等式①恒成立的充要条件是h（b）≥0，即ab2+（2a+1）b+（1-3a）≥0，
∵b＞-1，∴b+1＞0，且a＜0，∴，
依题意这一关于a的不等式在区间（-∞，-1]上有解，
∴，即，b2+b-4≤0，
∴，又b＞-1，故，
从而．                     …（14分）