Question

已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项；
（1）求数列{a_n}的通项公式；    
（2）若b_n=a_n-log₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使不等式S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的n的最小值．

Answer

（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）确定数列的通项，并求和，由Sn-2n+1+47＜0，建立不等式，即可求得结论．
【解析】
（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项
∴a1（2+q2）=3a1q（1），a1（q+q3）=2a1q2+4（2）
由（1）及a1≠0，得q2-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，
把q=2代入（2）得a1=2，所以，an=2•2n-1=2n；
（2）bn=an-log2an=2n-n．
所以Sn=b1+b2+…bn=（2+22++2n）-（1+2+…+n）=2n+1-2-n-n2 
因为Sn-2n+1+47＜0，所以2n+1-2-n-n2-2n+1+47＜0，
即n2+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
故使Sn-2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值为10．