Question

已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．
（1）求cosα的值；
（2）证明：sinβ．

Answer

（1）利用二倍角的正切公式可求得tanα，结合0＜α＜即可求得cosα的值；
（2）由于β=（α+β）-α，利用两角差的正弦结合已知即可求得sinβ的值，从而使结论得证．
【解析】
（1）将tan=代入tanα=得：tanα=（4分）
所以，又α∈（0，），
解得cosα=．（6分）
（2）证明：∵0＜α＜＜β＜π，
∴＜α+β＜，又sin（α+β）=，
所以cos（α+β）=-，（8分）
由（1）可得sinα=，（10分）
所以sinβ=sin[（α+β）-α]=×-（-）×=＞．（14分）