Question

已知函数f（x）=xlnx．  
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函数f（x）的减区间．
（2）由f（x）≥-x2+ax-6在（0，+∞）上恒成立，知，由此能够求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵，
∴函数f（x）的减区间为．
（2）∵f（x）≥-x2+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
∴，
，
当x＞2时，g（x）是增函数，
当0＜x＜2时，g（x）是减函数，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即实数a的取值范围是（-∞，5+ln2）．