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如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=...

如图,四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=manfen5.com 满分网
(1)求证:BC⊥SC;
(2)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.

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(1)由SD⊥底面ABCD得SD⊥BC,结合BC⊥DC,可得BC⊥平面SDC,最后由直线与平面垂直的定义,得BC⊥SC. (2)类似(1)的证明方法,可得DM⊥AB.连接BD,可算出Rt△SDB中,SD==1,可得△SDA的边SD=AD,得到SA边上的中线DM⊥SA,从而得到DM⊥平面SAB,所以DM⊥SB,得异面直线DM与SB所成的角为90°. 【解析】 (1)∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥DC. ∵SD⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD ∴SD⊥BC. 又∵DC∩SD=D,∴BC⊥平面SDC. ∵SC⊂平面SDC,∴BC⊥SC. (2)∵SD⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,∴SD⊥AB 又∵AB⊥AD,AD∩SD=D,∴AB⊥平面SAD ∵DM⊂平面SAD,∴DM⊥AB 连接BD,则Rt△SDB中,BD=,SB= ∴SD==1 可得Rt△SDA中,SD=AD,∴SA边上的中线DM⊥SA ∵SA和AB是平面SAB内的相交直线, ∴DM⊥平面SAB,结合SB⊂平面SAB,得DM⊥SB, ∴异面直线DM与SB所成的角为90°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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